FC ConcursosFC Concursos

Questão FC235910

Deseja-se construir uma caixa, sem a tampa, na forma de paralelepípedo retângulo reto de base quadrada, com volume de 2 m 3. Qual deve ser a medida, em metros, do lado da base, par

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2013

Deseja-se construir uma caixa, sem a tampa, na forma de paralelepípedo retângulo reto de base quadrada, com volume de 2 m 3. Qual deve ser a medida, em metros, do lado da base, para que a área total da caixa seja a menor possível?

  1. \(^3\sqrt {2}\)

  2. \(^3\sqrt {4}\)

  3. \(6^3\sqrt {2}\)

  4. \(6^3\sqrt {4}\)

  5. \(\frac {^3\sqrt {4}} {2}\)

Mostrar resposta e comentário

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja \(x\) o lado da base e \(h\) a altura. Pelo **volume** temos \(x^2h=2\), logo \(h=\dfrac{2}{x^2}\).

A **área total** da caixa (sem tampa) é \(A(x)=x^2+4xh\). Substituindo \(h\) obtém-se \(A(x)=x^2+\dfrac{8}{x}\).

Para minimizar, calcule a **derivada**: \(A'(x)=2x-\dfrac{8}{x^2}\). Igualando a zero: \(2x=\dfrac{8}{x^2}\Rightarrow x^3=4\), portanto \(x=\sqrt[3]{4}\) (medida em metros).

Verificando o caráter do extremo: \(A''(x)=2+\dfrac{16}{x^3}>0\), logo é um **mínimo**. Assim, \(x=\sqrt[3]{4}\).

Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em

Continue aprendendo