Questão FC235911
Se T : R3 → R3 é uma reflexão ortogonal, que deixa fixo um plano que passa pela origem, então os autovalores de T são:
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2013
Se T : R3 → R3 é uma reflexão ortogonal, que deixa fixo um plano que passa pela origem, então os autovalores de T são:
- 1, com multiplicidade 2, e -1, com multiplicidade 1
- 1, com multiplicidade 1, e -1, com multiplicidade 2
- 1, com multiplicidade 1, e -1, com multiplicidade 1
- 0, com multiplicidade 2, e 1, com multiplicidade 1
- 0, com multiplicidade 1, e 1, com multiplicidade 2
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Gabarito
A
Comentário do professor
Uma reflexão ortogonal que fixa um plano que passa pela origem deixa inalterados todos os vetores desse plano. Assim, para todo \(v\) no plano vale \(T(v)=v\), ou seja, esses vetores são autovetores com autovalor 1.
O complemento ortogonal desse plano é uma reta (dimensão 1). Sobre um vetor normal \(w\) a esse plano a reflexão inverte a direção, logo \(T(w)=-w\), o que fornece o autovalor -1.
Como o plano tem dimensão 2, o autovalor \(1\) possui multiplicidade 2, e a reta normal dá ao autovalor \(-1\) multiplicidade 1. Portanto os autovalores são \(1\) (multiplicidade 2) e \(-1\) (multiplicidade 1).
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