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Questão FC235916

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o qual existe uma transformação linear T: V→V tal que Im(T) = Ker(T), onde Im(T) e Ker(T) representam os subespaços vetoriais de

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o qual existe uma transformação linear T: V→V tal que Im(T) = Ker(T), onde Im(T) e Ker(T)
representam os subespaços vetoriais de V, definidos por

  e Ker(T)= \(\{ \vec {v} \quad \in \quad V/T \quad (\vec {v}) = \vec {0} \}\).

 

Se a dimensão de V é igual a n, então a dimensão do subespaço Ker(T) é

  1. 0
  2. 1
  3. n
  4. n − 1
  5. n/2
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Pelo enunciado temos a igualdade dos subespaços: Im(T) = Ker(T) e a dimensão de \(V\) é \(n\).

Aplicando o Teorema da dimensão (posto‑nulidade):
\(\dim V = \dim\ker(T) + \dim\operatorname{Im}(T)\).

Seja \(k=\dim\ker(T)\). Como \(\dim\operatorname{Im}(T)=\dim\ker(T)=k\), substituindo obtemos:
\(n = k + k = 2k\).

Daí segue imediatamente que \(\dim\ker(T)=k=\dfrac{n}{2}\).
Observe também que isso exige que \(n\) seja par para que a dimensão seja inteira.

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