Qual é o valor da integral dupla \(\int_{0}^{1}\,\int_{y}^{1}\,\quad\,2.\,\mathrm{e^{-x\,^2}}\) dxdy?

Gabarito

B

Comentário do professor

Aplicando a troca de ordem é conveniente descrever a região: \(0\le y\le 1\) e \(y\le x\le 1\) é equivalente a \(0\le x\le 1\), \(0\le y\le x\). Assim

integral: \(\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}2e^{-x^{2}}\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}2e^{-x^{2}}\,dy\,dx\).

Fazendo a integração em \(y\) obtemos o fator comprimento do intervalo em \(y\): \(\int_{0}^{x}2e^{-x^{2}}\,dy=2x e^{-x^{2}}\). Portanto a integral reduz a uma integral simples em \(x\):

\(\int_{0}^{1}2x e^{-x^{2}}\,dx\). Aplicando a substituição \(u=x^{2}\) (com \(du=2x\,dx\)) obtemos \(\int_{0}^{1}e^{-u}\,du=[-e^{-u}]_{0}^{1}=1-\frac{1}{e}\).

Resultado: \(1-\frac{1}{e}\).