Se \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) é a função definida por \(\int_{-x}^{x}\) |t| dt, então a derivada f (−5) é

Gabarito

D

Comentário do professor

Aplicamos a Regra de Leibniz para derivar uma integral com limites dependentes de \(x\): se \(f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t)\,dt\), então \(f'(x)=g(b(x))b'(x)-g(a(x))a'(x)\).

Aqui \(a(x)=-x\), \(b(x)=x\) e \(g(t)=|t|\). Assim
\(f'(x)=|x|\cdot 1 - |{-x}|\cdot(-1)=|x|+|{-x}|\).

Como \(|{-x}|=|x|\), segue que \(f'(x)=2|x|\) para todo \(x\).

Portanto, avaliando em \(-5\): \(f'(-5)=2|{-5}|=2\cdot5=10\), que é o valor pedido.