Se \(y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) é a solução do problema de valor inicial \(\begin{cases} y" + y = sen (x) \\ y(0)=1 \\ y'(0) = -1 \end{cases}\) então y(π) é igual a

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Resolva o EDO por decomposição: a solução da parte homogênea é \(y_h=A\cos x+B\sin x\). Como o termo forçante \(\sin x\) coincide com uma solução homogênea ( ressonância ), procure uma solução particular da forma \(y_p=x(C\cos x+D\sin x)\).

Calculando \(y_p''+y_p\) obtém-se \(-2C\sin x+2D\cos x\), que deve ser igual a \(\sin x\). Assim \(C=-\tfrac12\) e \(D=0\), logo \(y_p=-\tfrac12 x\cos x\).

A solução geral é \(y=A\cos x+B\sin x-\tfrac12 x\cos x\). Pelas condições iniciais \(y(0)=1\) e \(y'(0)=-1\) acham-se \(A=1\) e \(B=-\tfrac12\), portanto \(y(x)=\cos x-\tfrac12\sin x-\tfrac12 x\cos x\).

Avalia-se em \(x=\pi\): \(\cos\pi=-1\), \(\sin\pi=0\), daí \(y(\pi)=-1-0-\tfrac12\pi(-1)=\tfrac{\pi}{2}-1\).