Questão FC235924
Qual é a área da região T(R)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Se \(T: \mathbb {R} ^2 \rightarrow \mathbb {R} ^2\) a transformação linear definida por T(x,y) = (9x + 3y,5x + 2y). Seja R a região do plano cartesiano definida por R = {(x,y) \(\in\) \(\mathbb {R} ^2\) / 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2}. Considere a região T(R) \(\subset\) \(\mathbb {R} ^2\), que é a imagem da região R pela transformação linear T.
Qual é a área da região T(R)?
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\(36\)
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\(2 \sqrt {193}\)
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\(12\)
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\(4\)
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\(3\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para encontrar a área de T(R) use a propriedade de que uma transformação linear é representada por uma matriz e o seu determinante é o fator de escala de áreas.
A matriz associada a \(T\) é \(A=\begin{pmatrix}9 & 3 \\[2pt] 5 & 2\end{pmatrix}\). Calcule o determinante: \(\det A = 9\cdot2 - 3\cdot5 = 18 - 15 = 3\).
Como \(R\) é um retângulo de lados 2 e 2, sua área é \(2\cdot2=4\). A imagem por \(T\) é um paralelogramo cuja área é o produto do valor absoluto do determinante pelo área original.
Portanto a área de T(R) é \(|\det A|\cdot 4 = 3\cdot4 = 12\).
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