Considere os dois seguintes limites: O valor de é M − N é

Gabarito

B

Comentário do professor

Considere \(f(x,n)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\). Para cada \(n\) fixo, \(f(x,n)\) é um polinômio em \(x\) e, portanto, cresce no máximo como uma potência de \(x\).

Como \(e^{-x}\) tende a \(0\) exponencialmente quando \(x\to+\infty\), o produto de um polinômio por \(e^{-x}\) tende a \(0\). Logo, para todo \(n\) fixo \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x,n)e^{-x}=0\) e, portanto, \(\displaystyle \mathbf{M}= \lim_{n\to+\infty}0= \mathbf{0}.\)

Por outro lado, para \(x\) fixo, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} f(x,n)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=e^{x}\). Assim \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \big(\lim_{n\to+\infty} f(x,n)e^{-x}\big)=\lim_{x\to+\infty} e^{x}e^{-x}=\mathbf{1}\), ou seja, \(\mathbf{N}=1.\)

Portanto, \(M-N=0-1=\mathbf{-1}\).