Se y(t) é a solução do problema de valor inicial \(\begin{cases} t.y' + 2y - 4t^2=0, \text {entao y(1) vale} \\ y(2)=6 \end{cases}\)

Gabarito

A

Comentário do professor

Começamos por colocar a EDO em forma padrão: \(y' + \frac{2}{t}y = 4t\).

Calcule o fator integrante \(\alpha(t)=e^{\int \frac{2}{t}dt}=t^2\). Multiplicando, obtemos \(\frac{d}{dt}(t^2y)=4t^3\).

Integrando: \(t^2y=\int 4t^3dt=t^4+C\), logo a solução geral é \(y=t^2+\frac{C}{t^2}\).

Usando a condição inicial \(y(2)=6\): \(6=4+\frac{C}{4}\Rightarrow C=8\). Assim \(y=t^2+\frac{8}{t^2}\).

Finalmente, \(y(1)=1^2+\frac{8}{1^2}=9\). Portanto, a resposta correta é 9.