Se: \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) é a função definida por \(f(x)= \frac {sen (x)} {x^2+1}\), então o valor da integral \(\int_{-1}^{1}\) f(x) dx é

Gabarito

B

Comentário do professor

Considere \(f(x)=\dfrac{\sen x}{x^2+1}\). A função \(\sen x\) é ímpar e \(x^2+1\) é par, logo o quociente de uma função ímpar por uma par é uma função ímpar.

Algebricamente: \(f(-x)=\dfrac{\sen(-x)}{(-x)^2+1}=\dfrac{-\sen x}{x^2+1}=-f(x)\), ou seja, \(f(-x)=-f(x)\) para todo \(x\).

Para uma função ímpar, a integral em intervalo simétrico satisfaz \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0\). Pelo fato acima, \(\int_{-1}^{1} \dfrac{\sen x}{x^2+1}\,dx=0\).

Geometricamente, as áreas positivas e negativas em \([-1,1]\) se cancelam, portanto o valor da integral é 0.