Questão FC235928
Sejam \(\vec {v}_1, \vec {v}_2 \quad \mbox e \quad \vec {v}_3\) três vetores do \(\mathbb{R}^3\) não colineares dois a dois, não nulos e linearmente dependentes. Se \(\vec {w} \in
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Sejam \(\vec {v}_1, \vec {v}_2 \quad \mbox e \quad \vec {v}_3\) três vetores do \(\mathbb{R}^3\) não colineares dois a dois, não nulos e linearmente dependentes.
Se \(\vec {w} \in \mathbb{R}^3\) for não nulo e tal que \(\vec {w} \bullet \vec {v}_1 = \vec {w} \bullet \vec {v}_2 =0\), onde \(\bullet\) indica o produto escalar usual do \(\mathbb{R}^3\), então
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\(\vec {v}_1 \bullet \vec {v}_2=0\)
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\(\vec {w} \bullet \vec {v}_3=0\)
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\(\vec {w} = k . \vec {v}_2 ,\) para algum k \(\in\) \(\mathbb {R}\).
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\(\vec {w} = k . \vec {v}_3 =0,\) para algum k \(\in\) \(\mathbb {R}\).
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\(\vec {v}_1, \vec {v}_2, \vec {v}_3 \quad \mbox e \quad \vec {w}\) são linearmente independentes.
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Gabarito
B
Comentário do professor
Três vetores não colineares e linearmente dependentes em \(\mathbb{R}^3\) são necessariamente coplanares, portanto existe escalares \(a,b\) (não ambos nulos) tais que \( \vec{v}_3 = a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2\).
Como o produto escalar é bilinear, temos
\( \vec{w}\cdot\vec{v}_3 = a(\vec{w}\cdot\vec{v}_1) + b(\vec{w}\cdot\vec{v}_2).\)
Pelo enunciado \(\vec{w}\cdot\vec{v}_1=\vec{w}\cdot\vec{v}_2=0\), logo cada termo à direita é zero e, portanto,
\( \vec{w}\cdot\vec{v}_3=0.\)
Geometricamente, \(\vec{w}\) é ortogonal ao plano gerado por \(\vec{v}_1\) e \(\vec{v}_2\), assim também é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores, em particular a \(\vec{v}_3\).
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