Questão FC235930
Sejam \(a= \{\vec {u}_1, \vec{u}_2 \} \quad \mbox e \quad \beta= \{ \vec {v}_1, \vec {v}_2 \}\) bases do \(\mathbb {R}^2\) e considere A 2x2 a matriz mudança de base de α para β, i
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Sejam \(a= \{\vec {u}_1, \vec{u}_2 \} \quad \mbox e \quad \beta= \{ \vec {v}_1, \vec {v}_2 \}\) bases do \(\mathbb {R}^2\) e considere A 2x2 a matriz mudança de base de α para β, isto é, dado \(\vec {w}\) com coordenadas (a,b) na base α é possível se obterem as coordenadas (c,d) de \(\vec {w}\) na base β, por meio do produto matricial \([c \quad d] - A_{2x2} \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\)
Se B 2x2 é a matriz mudança de base de β para α e det(B 2x2) = \(- \frac {1} {3}\) , então o determinante det(A 2x2) é igual a
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\(-3\)
-
\(- \frac {1} {3}\)
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\(0\)
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\(\frac {1} {3}\)
-
\(3\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
A matriz de mudança de base \(B\) de \(\beta\) para \(\alpha\) é a inversa da matriz \(A\) de \(\alpha\) para \(\beta\). Portanto vale \(A\cdot B=I\), sendo \(I\) a matriz identidade.
Pelo fato de que o determinante é multiplicativo, temos \( \det(A\cdot B)=\det(A)\det(B)\). Como \(\det(I)=1\), segue \( \det(A)\det(B)=1\).
Foi dado \(\det(B)=-\tfrac{1}{3}\). Substituindo na igualdade obtemos \( \det(A)\left(-\tfrac{1}{3}\right)=1\).
Isolando \(\det(A)\) resulta \( \det(A)=-3\). Assim, a alternativa correta é \(-3\).
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