Os vetores \(\vec {u}, \vec {v} \quad \mbox e \quad \vec {w}\) são tais que \(\vec {u} \, + \, \vec {v} \, + \, \vec {w} = \vec {0}\), onde \(\vec {0}\) é o vetor nulo. Se \(\langl

Gabarito

B

Comentário do professor

Da hipótese \( \vec u+\vec v+\vec w=\vec 0\) segue que \(\vec w=-(\vec u+\vec v)\), e como o sinal não altera norma, temos \( |\vec w|^2=|\vec u+\vec v|^2\).

Usando a identidade do produto escalar: \( |\vec u+\vec v|^2=|\vec u|^2+|\vec v|^2+2\langle\vec u,\vec v\rangle\). Substituindo \( |\vec u|=|\vec v|=1\) e \( |\vec w|^2=(\sqrt2)^2=2\), obtemos \(2=1+1+2\langle\vec u,\vec v\rangle\), logo \(\langle\vec u,\vec v\rangle=0\).

Agora calcule \( \langle\vec u,\vec w\rangle\) e \( \langle\vec v,\vec w\rangle\) usando \(\vec w=-(\vec u+\vec v)\):

\(\langle\vec u,\vec w\rangle= -(\langle\vec u,\vec u\rangle+\langle\vec u,\vec v\rangle)=-(1+0)=-1\),

\(\langle\vec v,\vec w\rangle= -(\langle\vec v,\vec u\rangle+\langle\vec v,\vec v\rangle)=-(0+1)=-1\).

Portanto \( \langle\vec u,\vec v\rangle+\langle\vec u,\vec w\rangle+\langle\vec v,\vec w\rangle=0-1-1=\mathbf{-2}.\)