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Questão FC235935

Se o quadrado formado pelos pontos (0,0); (0,1); (1,1) e (1,0) tem área igual a 1 unidade de área, quantas unidades de área tem a região pintada?

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

A figura a seguir mostra uma parte dos gráficos das funções reais de variáveis reais dadas por f(x) = x3 e g(x) = x2.

 

 

A parte pintada representa a região do plano \(\mathbb{R}\)2  em que x3 ≤ y ≤ x2, com x ≥ 0.


Se o quadrado formado pelos pontos (0,0); (0,1); (1,1) e (1,0) tem área igual a 1 unidade de área, quantas unidades de área tem a região pintada?

  1. \(\frac {1} {12}\)

  2. \(\frac {1} {6}\)

  3. \(\frac {1} {5}\)

  4. \(\frac {1} {4}\)

  5. \(\frac {1} {3}\)

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Gabarito

A

Comentário do professor

A região pintada é o conjunto de pontos entre os gráficos de \(y=x^3\) e \(y=x^2\) para \(0\le x\le1\). Como o quadrado unitário tem área 1, basta calcular a área entre as curvas no intervalo dado.

Tomando a diferença entre as funções, a área é \(A=\int_0^1 (x^2-x^3)\,dx\). Aqui usamos que, para \(x\ge0\), vale \(x^3\le x^2\), logo a integranda é não negativa.

Calculemos: \(A=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\).

Portanto, a região pintada tem área igual a \(\dfrac{1}{12}\) unidade de área.

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