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Questão FC235936

O vetor \(\vec {n}\) = (1,2,− 3) é perpendicular a um plano α que contém o ponto P(3,2,−1). Os pontos do plano são da forma (x, y, z) \(\in\) \(\mathbb {R}\)3, onde os números x, y

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

O vetor \(\vec {n}\) = (1,2,− 3) é perpendicular a um plano α que contém o ponto P(3,2,−1).


Os pontos do plano são da forma (x, y, z) \(\in\) \(\mathbb {R}\)3, onde os números x, y e z satisfazem a relação

  1. \(\frac {x-1} {3}= \frac {y-2} {2} = - z-1\)

  2. \(x-3 = \frac {y-2} {2} = \frac {-z-1} {3}\)

  3. \(x + 2y - 3z = 0\)

  4. \(3(x - 1) + 2(y - 2) - (z + 3) = 0\)

  5. \((x - 3) + 2(y - 2) - 3(z + 1) = 0\)

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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Um plano pode ser escrito pela relação \( \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0\), onde \( \vec{n}=(a,b,c)\) é o vetor normal, \( \vec{r}=(x,y,z)\) e \( \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0)\) é um ponto do plano.

Aqui \( \vec{n}=(1,2,-3)\) e o ponto dado é \(P(3,2,-1)\). Substituindo na forma vetorial temos

\(1(x-3)+2(y-2)+(-3)(z-(-1))=0\).

Simplificando, \( (x-3)+2(y-2)-3(z+1)=0\), que é exatamente a equação apresentada. Essa expressão garante que o vetor que liga \(P\) a qualquer ponto \((x,y,z)\) do plano seja ortogonal a \(\vec{n}\), caracterizando o plano desejado.

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