Se f: \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) é uma função tal que \(\lim_{x \to + \infty} \frac {f(X)} {\sqrt {x}} = 5\), então o limite \(\lim_{x \to + \infty} \frac {[10 + sen (\sqrt

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Da hipótese \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=5\) segue que \(f(x)=5\sqrt{x}+o(\sqrt{x})\).

Substituindo na expressão, temos \(\frac{[10+\sen(\sqrt{x})]f(x)}{3x}=\frac{[10+\sen(\sqrt{x})](5\sqrt{x}+o(\sqrt{x}))}{3x}\).

Isso pode ser reescrito como \(\frac{5[10+\sen(\sqrt{x})]}{3\sqrt{x}}+\frac{[10+\sen(\sqrt{x})]o(\sqrt{x})}{3x}\).

Seno limitado: \(10+\sen(\sqrt{x})\) é limitado entre 9 e 11, logo o primeiro termo tende a zero pois divide por \(\sqrt{x}\to\infty\), e o segundo é ainda menor (ordem \(o(1/\sqrt{x})\)).

Portanto, pelo teorema do confronto, o limite pedido é igual a zero.