Questão FC235941
Durante a resolução de um problema de otimização, é comum terem de ser classificados os pontos críticos de uma função f: \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) infinitamente diferenciáv
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Durante a resolução de um problema de otimização, é comum terem de ser classificados os pontos críticos de uma função f: \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) infinitamente diferenciável.
Se um ponto x0 \(\in\) \(\mathbb {R}\) é tal que f ' (x0) = f " (x0) = 0 e f "' (x0) ≠ 0, então o ponto crítico x0 é um ponto de
Dado: Pontos de máximo, ou mínimo, relativos são também denominados pontos de máximo, ou mínimo, locais. Pontos de máximo, ou mínimo, absolutos são também denominados pontos de máximo, ou mínimo, globais.
- mínimo relativo, que não é absoluto.
- máximo relativo, que não é absoluto.
- inflexão.
- mínimo absoluto.
- máximo absoluto.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Se \(f'(x_0)=f''(x_0)=0\) e \(f'''(x_0)\neq0\), o ponto \(x_0\) é um ponto de inflexão.
Como \(f\) é infinitamente diferenciável, expandimos \(f''\) em torno de \(x_0\):
\(f''(x)=f''(x_0)+f'''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\).
Substituindo \(f''(x_0)=0\) obtemos \(f''(x)=f'''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\).
Portanto, para \(x\) imediatamente à direita e à esquerda de \(x_0\) o sinal de \(f''(x)\) é dado pelo sinal de \(f'''(x_0)(x-x_0)\).
Como o termo dominante é linear em \((x-x_0)\) e \(f'''(x_0)\neq0\), o sinal de \(f''\) muda ao atravessar \(x_0\).
Essa mudança de sinal da segunda derivada caracteriza uma inflexão.
Observação: \(f'(x_0)=0\) apenas indica que a tangente é horizontal em \(x_0\), não sendo necessária para a definição de inflexão, que depende da variação da concavidade.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em