Se y(x) é a solução do problema \(\begin{cases} y" -6y' + 9y = 32e^{-x} \\ y (0) = 2, y' (0_ = -2 \end{cases}\) então y(1) é igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Resolvendo a equação, primeiro obtemos a solução homogênea. A equação característica é \(r^2-6r+9=(r-3)^2\), logo \(y_h=(C_1+C_2x)e^{3x}\).

Para a particular tentamos \(y_p=Ae^{-x}\). Calculando \(y_p''-6y_p'+9y_p=A(1+6+9)e^{-x}=16A e^{-x}\). Igualando a \(32e^{-x}\) vem \(16A=32\), então \(A=2\) e \(y_p=2e^{-x}\).

A solução geral é \(y=(C_1+C_2x)e^{3x}+2e^{-x}\). Pelas condições iniciais: \(y(0)=C_1+2=2\Rightarrow C_1=0\). Derivando, \(y'=C_2e^{3x}+3C_2x e^{3x}-2e^{-x}\); em \(x=0\), \(y'(0)=C_2-2=-2\Rightarrow C_2=0\).

Conclusão: \(y(x)=2e^{-x}\), portanto \(y(1)=\frac{2}{e}\).