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Questão FC235943

Se f: \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) é uma função infinitamente diferenciável, então o seu polinômio de Taylor de grau n \(\in\) \(\mathbb {N}\), tomado sobre o ponto x0=0 e rep

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Se f: \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) é uma função infinitamente diferenciável, então o seu polinômio de Taylor de grau n \(\in\) \(\mathbb {N}\), tomado sobre o ponto x0=0 e representado por Pn (f), é definido por

indica, para k ≥ 1, a derivada de ordem k da função f no ponto x0 = 0 e \(\frac {d^{(0)} f} {dx^0} (0) = f (0).\)

 

Portanto, se g: \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) é uma função infinitamente diferenciável, e \(\frac {dg} {dx}\) e \(\frac {d^{(2)} g} {dx^2}\) indicam as suas derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, então o polinômio \(P^{n-1} \left ( \frac{dg}{dx} \right )\) é igual a

  2. \(x.P^{n-1} \left ( \frac{d^{(2)} g}{dx^2} \right )\)

  3. \(\frac {d} {dx} (P^{n-1} (g))\)

  4. \(\frac {d} {dx} (P^n (g))\)

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Gabarito

D

Comentário do professor

O polinômio de Taylor de ordem \(n\) de \(g\) em 0 é \( \;P^n(g)(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k.\)

Pela função infinitamente diferenciável podemos aplicar a diferenciação termo a termo, obtendo
\(\displaystyle \frac{d}{dx}P^n(g)(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{g^{(k)}(0)}{(k-1)!}x^{k-1}.\)

Reindexando com \(j=k-1\) vem
\(\displaystyle \frac{d}{dx}P^n(g)(x)=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{g^{(j+1)}(0)}{j!}x^{j}.\)

Como \(g'^{(j)}(0)=g^{(j+1)}(0)\), a soma acima é exatamente o polinômio de Taylor de ordem n-1 de \(g'\). Logo \(P^{\,n-1}\big(g'\big)=\dfrac{d}{dx}\big(P^n(g)\big)\).

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