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Questão FC235944

Se T: \(\mathbb {R}\)3 → \(\mathbb {R}\)3 é uma transformação linear injetora que possui três autovalores reais distintos, λ1, λ2 e λ3, e \(\vec {v}_1 , \vec {v}_2\) e \(\vec {v}_3

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Se T: \(\mathbb {R}\)3 → \(\mathbb {R}\)3  é uma transformação linear injetora que possui três autovalores reais distintos, λ1, λ2 e λ3, e \(\vec {v}_1 , \vec {v}_2\) e \(\vec {v}_3\) são autovetores associados aos respectivos autovalores, então

  1. o autovetor \(\vec {v}_3\) não pertence ao plano gerado por \(\vec {v}_1\) e \(\vec {v}_2\).
  2. o autovetor \(\vec {v}_1\) é perpendicular ao autovetor \(\vec {v}_2\).
  3. os autovetores \(\vec {v}_1\), \(\vec {v}_2\) e \(\vec {v}_3\) são linearmente dependentes.
  4. pelo menos um dos autovalores é igual a zero.
  5. pelo menos um dos autovalores é negativo e outro é positivo.
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Gabarito

A

Comentário do professor

A conclusão decorre da propriedade fundamental de que autovetores de autovalores distintos são linearmente independentes.

Suponha, por contradição, que \(\vec v_3\) pertença ao plano gerado por \(\vec v_1\) e \(\vec v_2\), isto é \(\vec v_3=a\vec v_1+b\vec v_2\) para alguns escalares \(a,b\). Aplicando \(T\) e usando \(T(\vec v_i)=\lambda_i\vec v_i\) obtém-se \(a(\lambda_1-\lambda_3)\vec v_1+b(\lambda_2-\lambda_3)\vec v_2=\vec 0\).

Como \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) são distintos, os fatores \((\lambda_1-\lambda_3)\) e \((\lambda_2-\lambda_3)\) não anulam simultaneamente; daí \(a=b=0\), o que levaria a \(\vec v_3=\vec 0\), impossível para autovetor. Logo, \(\vec v_3\) não está no plano gerado por \(\vec v_1\) e \(\vec v_2\).

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