Dentre todos os vetores unitários do plano cartesiano xy, qual é aquele, segundo o qual a derivada direcional da função f: \(\mathbb {R}\)2 → \(\mathbb {R}\), definida por \(f (x,y

Gabarito

B

Comentário do professor

Princípio: a derivada direcional máxima de \(f\) em um ponto ocorre na direção do gradiente \(\nabla f\) nesse ponto; o valor máximo é \(|\nabla f|\).

Calcule \(\nabla f\). Com \(f(x,y)=\dfrac{y-x}{x^2+y^2}\) e \(r^2=x^2+y^2\) obtemos \(\nabla f(1,1)=\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)\), pois em \((1,1)\) tem‑se \(y-x=0\) que anula termos adicionais.

Normalizando \(\nabla f(1,1)\) para obter o vetor unitário na direção de máxima variação: \(|\nabla f(1,1)|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), então

vetor \(u=\dfrac{\nabla f(1,1)}{|\nabla f(1,1)|}=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\), que é a alternativa correta.
Valor máximo da derivada direcional: \(|\nabla f(1,1)|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).