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Questão FC235946

Seja A3x3 uma matriz 3x3 e \(\vec {v}_1= (x_1, y_1, z_1), \quad \vec {v}_2= (x_2, y_2, z_2)\) e \(\vec {w}_1= (x_3, y_3, z_3)\) vetores do \(\mathbb {R}\)3 , \(\vec {v}_1 \ne \vec

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Seja A3x3 uma matriz 3x3 e \(\vec {v}_1= (x_1, y_1, z_1), \quad \vec {v}_2= (x_2, y_2, z_2)\) e \(\vec {w}_1= (x_3, y_3, z_3)\) vetores do \(\mathbb {R}\)3 , \(\vec {v}_1 \ne \vec {v}_2\), para os quais valem as igualdades:

 

1)   \([A]_{3x3} \bullet \vec {v}_1 = [A]_{3x3} \bullet \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \end{bmatrix} = \vec {w} ;\)

 

2) \([A]_{3x3} \bullet \vec {v}_2 = [A]_{3x3} \bullet \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \end{bmatrix} = \vec {w} ;\)

 

Então, tem-se que

  1. a matriz [A]3x3 é invertível.
  2. a matriz [A]3x3 é simétrica.
  3.   det ([A]3x3) \(\ne\) 0.
  4. \(\vec {w}\) deve ser o vetor nulo.
  5. o posto da matriz [A]3x3 é menor do que 3.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Como \( [A]\vec v_1 = [A]\vec v_2 = \vec w\) com \(\vec v_1 \neq \vec v_2\), subtraindo as igualdades obtemos \( [A](\vec v_1-\vec v_2)=\vec 0\).

O vetor \(\vec u=\vec v_1-\vec v_2\) é não nulo, logo o sistema homogêneo \( [A]\vec x=\vec 0\) tem solução não trivial. Isso significa que o núcleo de \(A\) é não trivial.

Se o posto de \(A\) fosse 3 (matriz de posto completo), \(A\) seria injetora e o só vetor enviado em \(\vec 0\) seria o vetor nulo, o que contradiz o fato anterior. Portanto o posto de \(A\) é necessariamente menor do que 3 (i.e., \(\operatorname{rank}(A)\le 2\)).

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