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Questão FC235947

Sejam \(\vec {F}:\) \(\mathbb {R}\)2 → \(\mathbb {R}\)2 o campo vetorial definido por \(\vec {F} (x,y) = (x^2+y^2 +1, 2xy - 3)\) e \(a: [a,b]\) → \(\mathbb {R}\)2 uma curva diferen

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

 

Sejam \(\vec {F}:\) \(\mathbb {R}\)2 → \(\mathbb {R}\)2 o campo vetorial definido por \(\vec {F} (x,y) = (x^2+y^2 +1, 2xy - 3)\) e \(a: [a,b]\) →  \(\mathbb {R}\)2 uma curva diferenciável e injetora, parametrizada de tal forma que α(a) = A(0,0) e α(b) = B(4,0), conforme indicado na figura acima. O traço da curva α é composto por duas semicircunferências de raio igual a 1, centradas nos pontos (1,0) e (3,0).


Qual é o valor da integral de linha \(\int\limits_{a} \vec {F} (a (t)) \bullet a' (t) dt= \int\limits_{a} (x^2 + y^2 + 1) dx + (2xy -3) dy?\)

  1. \(2 \pi\)

  2. \(\frac {76} {3}\)

  3. \(\frac {152} {3}\)

  4. \(\frac {76\pi} {3}\)

  5. \(\frac {152 \pi} {3}\)

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Gabarito

B

Comentário do professor

Observamos que \(P(x,y)=x^2+y^2+1\) e \(Q(x,y)=2xy-3\) têm \(\partial P/\partial y=2y\) e \(\partial Q/\partial x=2y\). Assim o campo é conservativo em \(\mathbb{R}^2\), logo a integral depende só dos extremos.

Procura-se uma função potencial \(\phi\) com \(\nabla\phi=F\). Integrando \(P\) em \(x\): \(\phi=\frac{x^3}{3}+x y^2+x+g(y)\). Da condição \(\partial\phi/\partial y=2xy+g'(y)=2xy-3\) vem \(g'(y)=-3\), isto é \(g(y)=-3y+C\).

Logo \(\phi(x,y)=\frac{x^3}{3}+x y^2+x-3y\). Assim a integral é \(\phi(B)-\phi(A)=\phi(4,0)-\phi(0,0)=\frac{64}{3}+4-0=\frac{76}{3}\), que é o resultado.

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