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Questão FC235948

Se os símbolos \(\bullet\) e \(\oplus\) indicam, respectivamente, o produto escalar e o produto vetorial usuais do \(\mathbb {R}\)3 e três vetores, \(\vec {u}, \, \vec {v}, \, \vec

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Se os símbolos \(\bullet\) e \(\oplus\)  indicam, respectivamente, o produto escalar e o produto vetorial usuais do \(\mathbb {R}\)3  e três vetores, \(\vec {u}, \, \vec {v}, \, \vec {w} \, \in \, \mathbb {R} ^3\), são tais que \(\vec {u} \bullet (\vec {v} \oplus \vec {w}) =0\), então

  1. o vetor é normal ao plano xy.
  2. o vetor é normal ao plano definido por \(\vec {v}\) e \(\vec {w}\).
  3. o plano definido por \(\vec {v}\) e \(\vec {w}\) é paralelo ao plano xy.
  4. os vetores \(\vec {u}\), \(\vec {v}\) e \(\vec {w}\) são coplanares.
  5. pelo menos um dos vetores \(\vec {u}\), \(\vec {v}\) e \(\vec {w}\) é o vetor nulo.
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Gabarito

D

Comentário do professor

O valor \( \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) é o chamado produto misto e representa, em módulo, o volume do paralelepípedo determinado por \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\).

Se \( \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0\), esse volume é nulo. Um volume nulo significa que os três vetores não geram um espaço tridimensional pleno; eles ficam contidos em um mesmo plano ou são colineares.

Outra visão equivalente: \(\vec{v}\times\vec{w}\) é um vetor normal ao plano gerado por \(\vec{v}\) e \(\vec{w}\). A igualdade \( \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0\) indica que \(\vec{u}\) é ortogonal a esse normal, ou seja, pertence ao mesmo plano gerado por \(\vec{v}\) e \(\vec{w}\).

Portanto, \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) são coplanares.

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