Questão FC235949
Considere a sequência de funções cujos termos fn: \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) são definidos por \(f_n (x) = \begin{cases} \frac {n} {2}. e ^{-n.x}, & \mbox{ para } x \le 0 \\
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Considere a sequência de funções cujos termos fn: \(\mathbb {R}\) → \(\mathbb {R}\) são definidos por \(f_n (x) = \begin{cases} \frac {n} {2}. e ^{-n.x}, & \mbox{ para } x \le 0 \\ \frac {n} {2}. e^{n.x}, & \mbox{ para } x < 0 \end{cases} , \quad n \in \mathbb{N}\)
Se δ(x) indica a função generalizada Delta de Dirac com concentração na origem, então, quando \(n \rightarrow \infty\) os termos fn se aproximarão de
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Gabarito
B
Comentário do professor
As funções \(f_n(x)=\dfrac{n}{2}e^{-n|x|}\) formam um **núcleo aproximador** de Dirac. Primeiro, cada \(f_n\ge0\) e sua integral em \(\mathbb{R}\) é 1: \(\int_{-\infty}^{\infty}f_n(x)\,dx=1\).
Para mostrar que \(f_n\to\delta\) em sentido das distribuições, tome \(\varphi\) contínua e fixe \(\varepsilon>0\). Divida a integral:
\(\left|\int f_n\varphi-\varphi(0)\right|\le\sup_{|x|<\delta}|\varphi(x)-\varphi(0)|+\!2\|\varphi\|_\infty\!\int_{|x|\ge\delta}\!f_n\),
onde \(\int_{|x|\ge\delta}f_n= e^{-n\delta}\to0\). Primeiro termo pode ser tornado pequeno pela continuidade de \(\varphi\). Assim \(\int f_n\varphi\to\varphi(0)\), que é a definição de convergência para a **Delta de Dirac** concentrada na origem.
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