Questão FC235950
Se f: \(\mathbb {C}\) → \(\mathbb {C}\) é uma função de uma variável complexa z = x + i.y, f(z) pode ser escrita na forma f(z) = f(x + i.y) = u(x,y) + i.v(x,y), para determinadas f
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Se f: \(\mathbb {C}\) → \(\mathbb {C}\) é uma função de uma variável complexa z = x + i.y, f(z) pode ser escrita na forma f(z) = f(x + i.y) = u(x,y) + i.v(x,y), para determinadas funções reais u,v : \(\mathbb {R}\)2 → \(\mathbb {R}\) , correspondentes às partes real e imaginária de f(z), respectivamente.
Sendo assim, se f: \(\mathbb {C}\) → \(\mathbb {C}\) é a função de uma variável complexa z = x + i.y, definida por \(f(z) = \frac {1} {z^2 +1}\), então a
função v: \(\mathbb {R}\)2 → \(\mathbb {R}\), , correspondente à parte imaginária de f(z),é dada por
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\(v(x,y)= \frac {x^2-y^2+1} {(x^2-y^2+1)^2 + 4x^2 y^2}\)
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\(v(x,y)= \frac {-2xy} {(x^2-y^2+1)^2 + 4x^2 y^2}\)
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\(v(x,y)= \frac {1} {(x^2 - y^2 +1)}\)
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\(v(x,y)= \frac {1} {y^2+1}\)
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\(v(x,y)= \frac {1} {2xy}\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Substituímos \(z=x+iy\) em \(f(z)=\dfrac{1}{z^2+1}\), obtendo \(f(z)=\dfrac{1}{x^2-y^2+1+2ixy}\).
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador: \(x^2-y^2+1-2ixy\).
O denominador resultante é \((x^2-y^2+1)^2+(2xy)^2=(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2\).
Assim \(f(z)=\dfrac{x^2-y^2+1-2ixy}{(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2}\).
A parte imaginária de \(f\) vem do termo multiplicando \(i\): \(-2xy\) dividido pelo denominador acima.
Portanto \(v(x,y)=\dfrac{-2xy}{(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2}\), conforme apresentado.
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