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Questão FC235951

Seja f(t) uma função simétrica em torno de μ, tal que f(t) → 0 quando t → \(\pm \infty\) e cuja Transformada de Fourier é dada por F(ω) = F {f(t)} = \(\int_{- \infty}^{\infty}\) f(

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Seja f(t) uma função simétrica em torno de μ, tal que f(t) → 0 quando t → \(\pm \infty\) e cuja Transformada de Fourier é dada por F(ω) = F {f(t)} = \(\int_{- \infty}^{\infty}\) f(t)e−jωtdt. Seja g(t) = αf (t+μ), com α ≠ 0.

 

Nesse contexto, considere as afirmações abaixo.


I - F {g(t)} é real para todo t.


II - F {g’(t)} = αjωejωμ F(ω).


III - F {g(t)} é uma função ímpar.


Está correto APENAS o que se afirma em

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. II e III
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Gabarito

B

Comentário do professor

Aplicamos primeiro a propriedade de deslocamento na transformada de Fourier. Para \(g(t)=\alpha f(t+\mu)=\alpha f(t-(-\mu))\) temos
\(G(\omega)=\mathcal{F}\{g(t)\}=\alpha e^{j\omega\mu}F(\omega)\), pois o deslocamento temporal \(t_0=-\mu\) gera o fator \(e^{-j\omega t_0}=e^{j\omega\mu}\).

Em seguida usamos a propriedade da derivada: a transformada de \(g'(t)\) é \(j\omega\) vezes a transformada de \(g(t)\). Assim
\(\mathcal{F}\{g'(t)\}=j\omega\,G(\omega)=j\omega\;\alpha e^{j\omega\mu}F(\omega)\).

Portanto a expressão correta é \(\mathcal{F}\{g'(t)\}=\alpha j\omega e^{j\omega\mu}F(\omega)\), comprovando a afirmação.

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