Questão FC235952
Seja f(t) = e−3|t|, cuja Transformada de Fourier é dada por F {f(t)} = F(ω) = \(\frac {6} {9+\omega^2}.\) Sendo assim, a Transformada de Fourier da função g(t) = \(\frac {1} {9+t^2
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Seja f(t) = e−3|t|, cuja Transformada de Fourier é dada por F {f(t)} = F(ω) = \(\frac {6} {9+\omega^2}.\)
Sendo assim, a Transformada de Fourier da função g(t) = \(\frac {1} {9+t^2}\) é dada por
-
\(\frac {3} {\pi} e ^{-6|\omega|}\)
-
\(\frac {3} {\pi} e ^{-3|\omega|}\)
-
\(\frac {\pi} {3} e ^{- \frac {1} {2}|\omega|}\)
-
\(\frac {\pi} {3} e ^{-18|\omega|}\)
-
\(\frac {\pi} {3} e ^{- 3|\omega|}\)
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Da hipótese, temos a transformada conhecida: \(e^{-a|t|}\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{2a}{a^2+\omega^2}\) com \(a=3\).
Observação-chave: pela propriedade de dualidade da Transformada de Fourier, trocar tempo e frequência traz um fator \(2\pi\).
Aplicando dualidade a \(H(t)=\frac{2a}{a^2+t^2}\) obtemos \(H(t)\xleftrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi e^{-a|\omega|}\). Dividindo ambos os lados por \(2a\) resulta
\(\frac{1}{a^2+t^2}\xleftrightarrow{\mathcal{F}} \frac{\pi}{a} e^{-a|\omega|}.\)
Com \(a=3\) segue imediatamente o resultado: \(\mathcal{F}\{\,\frac{1}{9+t^2}\,\}=\frac{\pi}{3}e^{-3|\omega|}.\)
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em