Questão FC235953
A série de Fourier associada à função \(f(x) = \begin{cases} 1, & x & \in & [0,\pi) \\ 0, & x & \in & [\pi, 2 \pi) \end{cases}\) de período 2π é dada por \(\frac {1} {2} + \frac {2
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
A série de Fourier associada à função \(f(x) = \begin{cases} 1, & x & \in & [0,\pi) \\ 0, & x & \in & [\pi, 2 \pi) \end{cases}\) de período 2π é dada por
\(\frac {1} {2} + \frac {2} {\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac {1} {2n+1} \quad sen [(2n+1)x].\)
Assim, a série de Fourier associada à função \(g(x)= \begin {cases} 0, X \in & [0,\pi) \\ -3, X \in & [\pi,2 \pi) \end{cases}\) de período 2π é dada por
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Gabarito
A
Comentário do professor
Note que \(f(x)\) é dada e sua série de Fourier é \( \tfrac12 + \tfrac{2}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\sin((2n+1)x)\).
Observe a relação entre as funções: \(g(x)=0\) em \([0,\pi)\) e \(-3\) em \([\pi,2\pi)\). Assim podemos escrever \(g(x)=-3(1-f(x))\), ou equivalentemente \(g(x)=-3+3f(x)\).
Pela linearidade da série de Fourier, substituímos a série de \(f\) em \(g\):\(
\)
\(g(x)=-3+3\left(\tfrac12+\tfrac{2}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\sin((2n+1)x)\right)\).
Fazendo as contas, obtemos \(g(x)=-\tfrac{3}{2}+\tfrac{6}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\sin((2n+1)x)\), que é a série apresentada na alternativa correta.
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