Questão FC235957
Considere a sequência numérica an, n ∈ N, definida por \({ \begin {cases}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_1=log(2)\\a_{n +1} = a_n +log(2^{n + 1}),\,para\, n \ge 1 \end{cases}}\) O termo
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Considere a sequência numérica an, n ∈ N, definida por
\({ \begin {cases}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, a_1=log(2)\\a_{n +1} = a_n +log(2^{n + 1}),\,para\, n \ge 1 \end{cases}}\)
O termo an pode ser obtido através de
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\(n.log(2)\).
-
\((n + 2).log(2)\).
-
\({ \large n.(n + 1) \over \large 2} .log(2)\).
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\(log(2^n - 1)\).
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\(log(2^{n +1} - 2)\).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Da recorrência dada, temos \(a_{n+1}=a_n+\log(2^{\,n+1})\). Pela propriedade do logaritmo, isto se escreve \(a_{n+1}=a_n+(n+1)\log2\).
Aplicando a relação iterativamente até \(a_1\) obtemos \(a_n=a_{n-1}+n\log2,\;a_{n-1}=a_{n-2}+(n-1)\log2,\) etc., de modo que
\(a_n=\log2\,(1+2+\cdots+n)\).
A soma \(1+2+\cdots+n\) é a soma dos primeiros n inteiros, igual a \(\dfrac{n(n+1)}{2}\).
Portanto, conclui-se que \(a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\log2\), que é a expressão indicada.
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