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Questão FC235958

Considere [A]4x4 uma matriz 4x4 cujo determinante é −1, e T : R4 → R4 a transformação linear definida pela matriz [A]4x4, isto é: \(T( X_1, X_2, X_3, X_4)= [A]_{4x4}. { \begin{bmat

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Considere [A]4x4 uma matriz 4x4 cujo determinante é −1, e T : R4 → R4 a transformação linear definida pela matriz [A]4x4, isto é:

 

\(T( X_1, X_2, X_3, X_4)= [A]_{4x4}. { \begin{bmatrix} X_1\\X_2\\X_3\\X_4 \end{bmatrix}}\)

 

O núcleo (ou kernel) da transformação T é um espaço vetorial cuja dimensão é igual a

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Gabarito

A

Comentário do professor

Como \(\det([A])=-1\neq0\), a matriz \( [A]_{4x4}\) é invertível. Isso significa que a transformação linear \(T\) é injeutora e só envia o vetor nulo em \(\mathbb{R}^4\) para o vetor nulo.

O núcleo (kernel) de \(T\) é o conjunto de todas as soluções de \( [A]x=0\). Para matriz invertível a única solução é \(x=0\), logo o núcleo é \(\{0\}\).

Pela fórmula do posto (teorema posto-nulidade): \(\dim(\text{domínio})=\text{posto}([A])+\dim(\ker T)\). Aqui \(\text{posto}([A])=4\), então \(\dim(\ker T)=4-4=0\).

Portanto, a dimensão do núcleo de \(T\) é 0.

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