Questão FC235960
Se a função y(x) é a solução do problema de valor inicial \({\begin{cases} y" + 2y' + y =2. e^{-x}\\\,\,\,\,\,\,y(0)=1\\\,\,\,\,\,\,y'(0)=2 \end{cases}}\) então y(2) é igual a
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Se a função y(x) é a solução do problema de valor inicial
\({\begin{cases} y" + 2y' + y =2. e^{-x}\\\,\,\,\,\,\,y(0)=1\\\,\,\,\,\,\,y'(0)=2 \end{cases}}\)
então y(2) é igual a
-
\({ \large 2 \over \large 7e^2}\).
-
\({ \large 2 \over \large e^2}\).
-
\({ \large 4 \over \large e^2}\).
-
\({ \large 7 \over \large e^2}\).
-
\({ \large 11 \over \large e^2}\).
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Temos uma EDO linear de 2ª ordem: \(y''+2y'+y=2e^{-x}\). O operador linear é \(L=(D+1)^2\).
Solução homogênea: a equação característica é \((r+1)^2=0\) (raiz dupla \(r=-1\)), logo \(y_H(x)=C_1e^{-x}+C_2 xe^{-x}\).
Solução particular: como \(e^{-x}\) pertence ao espaço solução do homogêneo com multiplicidade 2, escolhemos \(y_P(x)=A x^2 e^{-x}\). Usando \(L(e^{-x}f)=e^{-x}f''\) com \(f(x)=Ax^2\) obtemos \(L(y_P)=2A e^{-x}\). Igualando a \(2e^{-x}\) dá \(A=1\). Assim \(y_P=x^2e^{-x}\).
Solução geral e condições iniciais: \(y=(C_1+C_2x+x^2)e^{-x}\). Com \(y(0)=1\) vem \(C_1=1\). Calculando \(y'(0)\) obtemos \(y'(0)=C_2-C_1\), logo \(2=C_2-1\Rightarrow C_2=3\).
Portanto \(y(x)=(1+3x+x^2)e^{-x}\) e \(y(2)=11e^{-2}=\dfrac{11}{e^2}\).
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