Dentre todas as retas tangentes ao gráfico da função f: \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), definida por \(f(x) = e^x.(x^2+1)\), qual é aquela que possui o menor coeficiente ang

Gabarito

A

Comentário do professor

Calculamos a derivada de \(f(x)=e^x(x^2+1)\) pela regra do produto: \(f'(x)=e^x(x^2+1)+2xe^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\).

Como \(e^x>0\) para todo \(x\) e \((x+1)^2\ge 0\), temos \(f'(x)\ge 0\). O coeficiente angular mínimo ocorre quando \(f'(x)\) atinge seu menor valor, isto é \(0\), alcançado em \(x=-1\).

Assim, a reta tangente de menor coeficiente angular é horizontal no ponto \(x=-1\). Sua equação é \(y=f(-1)=e^{-1}((-1)^2+1)=2e^{-1}=\cfrac{2}{e}\), ou seja, \(y=\cfrac{2}{e}\).