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Questão FC235962

Qual é o volume do sólido utilizado pelo engenheiro para modelar a forma da referida pilastra?

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

A fim de modelar a forma de uma das pilastras que sustenta uma obra de arte, um engenheiro utilizou o sólido do \(\mathbb{R}^3\) é limitado superiormente pelo paraboloide z = 2.(x2 + y2), lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 2y e, inferiormente, pelo
plano xy.


Qual é o volume do sólido utilizado pelo engenheiro para modelar a forma da referida pilastra?

  1. \(\large { \pi \over 2} u.v\).

  2. \(\large {3 \pi \over 2} u.v\)

  3. \(3 \pi u.v\)

  4. \(6 \pi u.v\)

  5. \(8 \pi u.v\)

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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Coordenadas polares: faça \(x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\). O paraboloide vira \(z=2r^2\) e o cilindro \(r^2=2r\sin\theta\), daí \(r=0\) ou \(r=2\sin\theta\). Como \(r\ge0\) e \(\sin\theta\ge0\) no setor relevante, tem-se \(\theta\in[0,\pi]\).

Integral do volume: \(V=\iint_D z\,dA=\int_0^\pi\int_0^{2\sin\theta} 2r^2\cdot r\,dr\,d\theta=2\int_0^\pi\int_0^{2\sin\theta} r^3\,dr\,d\theta\).

Integral interna: \(2\left.\dfrac{r^4}{4}\right|_{0}^{2\sin\theta}=8\sin^4\theta\). Assim \(V=8\int_0^\pi\sin^4\theta\,d\theta\).

Avaliação trigonométrica: usando \(\sin^4\theta=\dfrac{3-4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}\) obtém-se \(\int_0^\pi\sin^4\theta\,d\theta=\dfrac{3\pi}{8}\). Portanto \(V=8\cdot\dfrac{3\pi}{8}=3\pi\).

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