Questão FC235963
Se \(\vec{F}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\)é o campo vetorial definido por \(\vec{F} (x,y)=(2x + 2y^2, 3y^2+4xy+1)\) e \(\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2\) é uma cu
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Se \(\vec{F}: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\)é o campo vetorial definido por \(\vec{F} (x,y)=(2x + 2y^2, 3y^2+4xy+1)\) e \(\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2\) é uma curva simples e diferenciável, tal que α(a)= (0,0), α(b) = (3,4), cujo traço é indicado na figura acima, então o valor da integral de linha do campo vetorial \(\vec{F}\) sobre a curva α, dada por \(\int_{ \alpha} \vec{F} (a (t)).a '(t) dt= \int_{ \alpha}^b (2x +2y^2) dx + (3y^2 + 4xy +1) dy\), é
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\(-173\)
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\(- \large{4 \over 3}\)
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\(\large{4 \over 3}\)
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\(5\)
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\(173\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Como o caminho não é especificado, verifique se o campo é conservativo. Para \( \vec F=(P,Q)=(2x+2y^2,\,3y^2+4xy+1)\) temos \(P_y=4y\) e \(Q_x=4y\), logo \(P_y=Q_x\) e \(\vec F\) é conservativo em \(\mathbb R^2\).
Logo existe uma função potencial \(f\) com \(\nabla f=\vec F\). Integre \(f_x=2x+2y^2\) em \(x\): \(f(x,y)=x^2+2xy^2+g(y)\). Diferenciando em \(y\) e igualando a \(f_y=3y^2+4xy+1\) dá \(4xy+g'(y)=3y^2+4xy+1\), então \(g'(y)=3y^2+1\) e \(g(y)=y^3+y\).
Assim \(f(x,y)=x^2+2xy^2+y^3+y\). A integral de linha vale \(f(3,4)-f(0,0)=9+96+64+4=173\).
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