Questão FC235964
Se \(T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) é uma transformação linear sobrejetora, que não é injetora, então, tem-se
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Se \(T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) é uma transformação linear sobrejetora, que não é injetora, então, tem-se
- m ≤ n−1
- n ≤ m−1
- n = m
- m > 2
- n > 3
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Gabarito
A
Comentário do professor
Aplicamos o teorema do núcleo e da imagem: \( \dim(\mathbb{R}^n)=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)\).
Como \(T\) é sobrejetora, \(\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^m\) e portanto \(\dim(\operatorname{Im}T)=m\). Substituindo na igualdade obtém-se: \(n=\dim(\ker T)+m\).
Por hipótese \(T\) não é injetora, logo \(\ker T\neq\{0\}\) e \(\dim(\ker T)\ge 1\). Assim: \(n\ge m+1\), que equivale a \(m\le n-1\).
Logo, a condição correta é \(m\le n-1\), conforme afirmado.
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