Se \(y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) é a solução do problema de valor inicial \({ \begin{cases} \,\,\,y" + y' + y =0\\y(0)\,\,y'(0)= \large{ 3 \sqrt{3} \over 2} \end{cases}}

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos pela equação característica \( \lambda^2+\lambda+1=0\), cujas raízes são \( \lambda=-\tfrac12\pm i\tfrac{\sqrt3}{2}\). Para raízes complexas, a solução geral é \(y=e^{-x/2}\big(A\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}x)+B\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\big)\).

Como \(y(0)=0\) obtemos \(A=0\), então \(y=e^{-x/2}B\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\).

Derivando: \(y'=e^{-x/2}B\big(\tfrac{\sqrt3}{2}\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}x)-\tfrac12\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\big)\). Avaliando em 0 dá \(y'(0)=B\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\).

Igualando a condição \(y'(0)=\tfrac{3\sqrt3}{2}\) vem \(B=3\). Assim \(y=3e^{-x/2}\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}x)\).

Finalmente, \(y(2)=3e^{-1}\sin(\sqrt3)=\boxed{\tfrac{3}{e}\sin(\sqrt3)}\), que é o resultado pedido.