Se, para dados n, m ∈ \(\mathbb{N}\), o limite \(\lim_{x \rightarrow + \infty} \large {3m. x^n + 1 \over n. x^m + 3}\) é finito e não nulo, então seu valor deve ser igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Considere o limite \(L=\lim_{x\to+\infty}\frac{3m\,x^n+1}{n\,x^m+3}\). O comportamento quando \(x\to\infty\) é determinado pelo grau dos termos dominantes: se \(n\neq m\) o limite será \(0\) ou \(\pm\infty\), portanto, para ser finito e não nulo é necessário que n = m.

Tomando \(n=m\) temos \(L=\lim_{x\to+\infty}\frac{3m\,x^n+1}{n\,x^n+3} =\lim_{x\to+\infty}\frac{3m+\frac{1}{x^n}}{n+\frac{3}{x^n}} =\frac{3m}{n}\). Como \(n=m\), segue \(L=\frac{3m}{m}=3\).

Logo, o valor do limite é 3.