Se f:(−1, 0) → \(\mathbb{R}\) é a função definida por \(f(x)=5. \int_{ -1}^x \large{sen(2t) \over t} dt\), então quanto vale o limite \(lim_{ x \rightarrow 0^-} f '(x)\)

Gabarito

D

Comentário do professor

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se \(F(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt\) então \(F'(x)=g(x)\). Aplicando ao enunciado, como há um fator constante 5, obtemos

\(f'(x)=5\cdot \frac{\sin(2x)}{x}\).

Queremos o limite quando \(x\to 0^-\):

\(\lim_{x\to 0^-} f'(x)=\lim_{x\to 0^-} 5\cdot\frac{\sin(2x)}{x}\).

Há indeterminação \(0/0\), então aplicamos L'Hôpital. Derivando numerador e denominador obtemos \(5\cdot\frac{2\cos(2x)}{1}\). Avaliando em \(0\) resulta

\(5\cdot 2\cos(0)=5\cdot 2\cdot 1=10\).