A função f: (0, \(+ \infty\)) → \(\mathbb{R}\), definida por \(f(x)=x^x\), possui um único ponto crítico que ocorre em x igual a

Gabarito

B

Comentário do professor

Escreva \(x^x\) como \(e^{x\ln x}\). Assim \(f(x)=e^{x\ln x}\) com \(x>0\).

Calcule a derivada usando a regra da cadeia: \(f'(x)=e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x)\). Aplicando a regra do produto obtemos \(\frac{d}{dx}(x\ln x)=\ln x+1\).

Logo \(f'(x)=e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)\). Como \(x^x>0\) para \(x>0\), a condição para ponto crítico é \(\ln x+1=0\).

Daí \(\ln x=-1\), portanto \(x=e^{-1}=\frac{1}{e}\), que é o único ponto crítico de \(f\) no domínio \((0,+\infty)\).