Quanto vale a integral \(\int_{0}^{ \pi^2} cos ( \sqrt{x} )dx\)

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Faça a mudança de variável \(t=\sqrt{x}\). Então \(x=t^2\) e \(dx=2t\,dt\), com novos limites \(x=0\mapsto t=0\) e \(x=\pi^2\mapsto t=\pi\).

Assim a integral vira \( \int_{0}^{\pi^2}\cos(\sqrt{x})\,dx = 2\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt\).

Aplicando integração por partes: tome \(u=t\) (\(du=dt\)) e \(dv=\cos t\,dt\) (\(v=\sin t\)).

Obtemos \(2\big[ t\sin t - \int \sin t\,dt\big]_0^{\pi} = 2\big[ t\sin t + \cos t\big]_0^{\pi}\).

Avaliação dos limites: \(2\big(\pi\sin\pi+\cos\pi - (0\cdot\sin0+\cos0)\big)=2(-1-1)=-4\).

Logo, o valor da integral é -4.