Questão FC235970
De acordo com a estimativa do engenheiro, qual teria sido a temperatura inicial do líquido, em graus Celsius?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Alguns dados referentes à realização de uma experiência foram perdidos, dentre os quais, a temperatura inicial de um determinado líquido. No entanto, sabe-se que a temperatura do líquido durante a experiência, em graus Celsius e t segundos após o seu início, t > 0, foi dada pela função f: (0, \(+ \infty\)) → \(\mathbb {R}\) definida por \(f(t)= \large {t - tg (t) \over 2t^3}\). Um engenheiro decidiu estimar a temperatura inicial do líquido por meio do limite \(lim_{ t \rightarrow 0^+} f(t)\).
De acordo com a estimativa do engenheiro, qual teria sido a temperatura inicial do líquido, em graus Celsius?
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\(\large - {1 \over 3}\)
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\(\large - {1 \over 6}\)
-
\(\large {0}\)
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\(\large {1 \over 6}\)
-
\(\large {1 \over 3}\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Temos \(f(t)=\dfrac{t-\tg t}{2t^3}\). Por substituição em \(t\to0^+\) obtém-se a indeterminação \(0/0\), então aplicamos a Regra de l'Hôpital.
1ª aplicação: deriva-se numerador e denominador:
\( \dfrac{1-\sec^2 t}{6t^2}\) — ainda \(0/0\).
2ª aplicação:
\(\dfrac{-2\sec^2 t\,\tg t}{12t}\) — ainda \(0/0\).
3ª aplicação:
\(\dfrac{-2\sec^2 t\,(2\tg^2 t+\sec^2 t)}{12}\).
Avalia-se em \(t=0\): \(\tg0=0\), \(\sec0=1\), logo o numerador fica \(-2\) e o denominador \(12\), resultando em \(\displaystyle -\frac{1}{6}\).
Portanto, a estimativa da temperatura inicial é \(-\dfrac{1}{6}\) °C.
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