Se \(f:(0,+\infty) \rightarrow IR\) é uma função diferenciável tal que \(f'(x) = \sqrt{x}\) e \(f(1)=0\), então \(f(4)\) é igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Da derivada \(f'(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}\) obtém-se \(f\) por **integração**:

\(f(x)=\displaystyle\int x^{1/2}\,dx=\dfrac{2}{3}x^{3/2}+C\).

Aplicando a **condição inicial** \(f(1)=0\) encontramos a **constante de integração**:

\(0=\dfrac{2}{3}\cdot 1^{3/2}+C\Rightarrow C=-\dfrac{2}{3}\).

Logo \(f(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{2}{3}\). Para \(x=4\):

\(f(4)=\dfrac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}\cdot 8-\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}\).