Questão FC235974
Quanto vale o limite \(\underset { \times \rightarrow + \infty} { \lim} y(x)\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Seja \(y : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) a função derivável que é solução do problema de valor inicial \({ \begin{cases} { \large dy \over dx} = - x^3.y\\ y(0) = 5 \end{cases}}\)
Quanto vale o limite \(\underset { \times \rightarrow + \infty} { \lim} y(x)\)?
- \(+ \infty\)
- \(+ \infty\)
- 5
- -5
- 0
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Temos uma equação diferencial separável: \( \dfrac{dy}{dx} = -x^3 y\). Separando as variáveis fica \( \dfrac{dy}{y} = -x^3 dx\).
Integrando obtemos \( \ln|y| = -\dfrac{x^4}{4} + C\), portanto \(y = Ce^{-\frac{x^4}{4}}\).
Aplicando a condição inicial \(y(0)=5\) resulta em \(5 = C e^{0}\), logo \(C=5\) e a solução é y(x)=5e^{-\frac{x^4}{4}}.
Como \(x^4/4 \to +\infty\) quando \(x\to+\infty\), temos \(e^{-\frac{x^4}{4}}\to 0\). Assim o valor do limite é 0.
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em