Questão FC235975
Quanto vale x + y?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Sejam x, y \(\in\, \mathbb{N}\) tais que as séries infinitas \(\displaystyle \sum_{n =1}^{ + \infty} { \large n^{5-x} \over n^{y-2} + 1}\) e \(\displaystyle \sum_{n =1}^{ + \infty} { \large n^x \over n^{11-y} + 1}\) são ambas convergentes.
Quanto vale x + y?
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para testar convergência usamos o critério da p-série: uma série do tipo \(\sum n^p\) converge iff \(p<-1\).
Para grande \(n\), \(\dfrac{n^{5-x}}{n^{y-2}+1}\sim n^{5-x-(y-2)}=n^{7-(x+y)}\). Logo é necessário \(7-(x+y)<-1\), isto é, \(x+y>8\).
Analogamente, \(\dfrac{n^{x}}{n^{11-y}+1}\sim n^{x-(11-y)}=n^{x+y-11}\). Assim exige-se \(x+y-11<-1\), ou seja, \(x+y<10\).
Com \(x,y\in\mathbb{N}\) as únicas somas inteiras entre 8 e 10 são 9. Portanto \(x+y=9\).
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