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Questão FC235976

Qual é o ponto de interseção da reta R com o eixo das ordenadas?

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

Seja \(f : \mathbb{R} \rightarrow \left [ 0, { \large \pi \over 2} \right )\) a função definida por f(x) = arctg(x2) e considere R a reta que é tangente ao gráfico da função f no ponto \(\left ( -1, { \large \pi \over 4} \right )\)

 

Qual é o ponto de interseção da reta R com o eixo das ordenadas?

  1. (0,1)
  2. (0, -1)
  3. \(\left ( 0, { \large \pi \over 4}-1 \right )\)
  4. \(\left ( 0, { \large \pi \over 4} + 1 \right )\)
  5. \(\left ( 0,1 - { \large \pi \over 2} \right )\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para encontrar a interseção, calculamos a derivada de \(f(x)=\arctan(x^2)\) usando regra da cadeia: \(f'(x)=\dfrac{1}{(x^2)^2+1}\cdot 2x=\dfrac{2x}{x^4+1}\).

A inclinação da reta tangente no ponto \(\left(-1,\dfrac{\pi}{4}\right)\) é \(f'(-1)=\dfrac{2(-1)}{(-1)^4+1}=-1\).

Usando a equação da reta tangente na forma ponto-ângulo: \(y-y_0=m(x-x_0)\), temos\n\(y-\dfrac{\pi}{4}=(-1)\big(x-(-1)\big)\).

Isolando \(y\): \(y=-x+\dfrac{\pi}{4}-1\). A interseção com o eixo das ordenadas ocorre em \(x=0\).

Assim, o ponto de interseção é \(\left(0,\dfrac{\pi}{4}-1\right)\).

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