Se \(f: \, (0, \, + \infty) \, \to \, IR\) é um função diferenciável tal que \(f' (\times) \, = \, \dfrac {1} {\times^3}\) e f(1) = 0, então f(2) é igual a

Gabarito

D

Comentário do professor

Temos a expressão da derivada \(f'(x)=\dfrac{1}{x^3}\) definida em \((0,+\infty)\), o que permite integrar sem problemas de sinal de \(x\).

Integrando, aplicamos a regra \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)\) com \(n=-3\): \(\int x^{-3}dx = \dfrac{x^{-2}}{-2}\). Assim \(f(x) = -\dfrac{1}{2x^2} + C\).

A constante \(C\) é determinada pela condição inicial. Substituindo \(f(1)=0\): \(-\dfrac{1}{2(1)^2}+C=0\), logo \(C=\dfrac{1}{2}\).

Portanto \(f(x) = -\dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{1}{2}\). Calculando \(f(2)\): \(f(2) = -\dfrac{1}{2\cdot4} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{3}{8}\).

f(2) = \dfrac{3}{8}