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Questão FC235980

A figura mostra, parcialmente, o gráfico da função \(f: \, [0, \, + \infty) \, \to \, IR,\) definida \(f(x) \, = \, x^2 \, - \, 2x.\) Em destaque está a região do plano cartesiano

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2012

 

A figura mostra, parcialmente, o gráfico da função \(f: \, [0, \, + \infty) \, \to \, IR,\) definida \(f(x) \, = \, x^2 \, - \, 2x.\) Em destaque está a região do plano cartesiano limitada pelo eixo das abscissas, pelo gráfico da função f e pelas retas verticais x = 0 (eixo y) e x = 3.

 

Se as marcações presentes nos eixos coordenados estiverem separadas por 1 cm, a área da região em destaque é, em cm2, igual a

  1. \(- \, \dfrac {8} {3}\)
  2. \(- \, \dfrac {4} {3}\)
  3. \(\dfrac {8} {3}\)
  4. \(\dfrac {4} {3}\)
  5. 0
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para calcular a área entre o gráfico de \(f(x)=x^2-2x\) e o eixo \(x\) usamos a integral, lembrando que por convensão a parte abaixo do eixo contribui com sinal negativo.

As raízes são \(x=0\) e \(x=2\); assim \(f<0\) em \((0,2)\) e \(f>0\) em \((2,3)\). Portanto

\(A = -\int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^3 f(x)\,dx\).

A antiderivada é \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2\). Temos \(F(0)=0\), \(F(2)=\dfrac{8}{3}-4=-\dfrac{4}{3}\) e \(F(3)=0\). Então \(\int_0^2 f=F(2)-F(0)=-\tfrac{4}{3}\) (logo \(-\int_0^2 f=+\tfrac{4}{3}\)) e \(\int_2^3 f=F(3)-F(2)=\tfrac{4}{3}\).

Somando: \(A=\tfrac{4}{3}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}\) cm2.

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