A figura apresenta o gráfico da função \(f(x) \, = \, \dfrac {x} {10} \, (x \, -2) (x \, - \, 1) (x \, + \, 3) (x \, + \, 4).\) O gráfico da função derivada f’(x) é

Gabarito

D

Comentário do professor

A alternativa D está correta porque leva em conta duas propriedades essenciais de \(f(x)=\tfrac{x}{10}(x-2)(x-1)(x+3)(x+4)\).

Primeiro, \(f\) é um polinômio de grau 5 com raízes simples em \(x=-4,-3,0,1,2\). Pelo teorema de Rolle, entre cada par de raízes consecutivas de \(f\) existe pelo menos uma raiz de \(f'\). Assim \(f'\) tem pelo menos quatro raízes, localizadas nos intervalos \((-4,-3),(-3,0),(0,1),(1,2)\).

Segundo, como o termo dominante de \(f\) é \(\tfrac{1}{10}x^5\), sua derivada \(f'\) é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, logo \(f'(x)\to +\infty\) quando \(x\to\pm\infty\). Portanto o gráfico de \(f'\) deve ter as duas caudas para cima e cruzar o eixo \(x\) quatro vezes nos intervalos citados.

A alternativa D representa exatamente esse comportamento: quatro raízes internas entre as raízes de \(f\) e comportamento assintótico positivo em ambas as extremidades, coincidindo com as consequências de Rolle e do grau de \(f\).