Questão FC235983
Qual é a área da superfície gerada pela rotação do arco de parábola y2 = 2x , com 0 \(\le\) x \(\le\) 1, em torno do eixo das abscissas?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
A área gerada pela revolução da curva y = f(x) em torno do eixo das abscissas, x \(\in\) [a, b], onde f(x) é uma função contínua e derivável em [a, b], pode ser obtida através da expressão
\(\displaystyle \pi \int_a^b f(x) \sqrt{a + [f'(x)]^2} dx\)
Qual é a área da superfície gerada pela rotação do arco de parábola y2 = 2x , com 0 \(\le\) x \(\le\) 1, em torno do eixo das abscissas?
- \(2 \pi \begin {pmatrix} \sqrt {3} - \dfrac {1} {3} \end {pmatrix}\)
- \(2 \pi \begin {pmatrix} \sqrt {3} + \dfrac {1} {3} \end {pmatrix}\)
- \(\pi \begin {pmatrix} \sqrt {3} + \dfrac {1} {3} \end {pmatrix}\)
- \(\pi \begin {pmatrix} 2\sqrt {3} - \dfrac {1} {3} \end {pmatrix}\)
- \(\pi \begin {pmatrix} 2\sqrt {3} + \dfrac {1} {3} \end {pmatrix}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Área: usamos a fórmula da superfície de revolução em torno do eixo \(x\): \(A=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\). Aqui escolhemos \(f(x)=\sqrt{2x}\) em \(0\le x\le1\).
Derivada: \(f'(x)=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt{x}}\). Substituindo na integral obtém-se
\(A=2\pi\int_0^1\sqrt{2x}\sqrt{1+\dfrac{1}{2x}}\,dx=2\pi\int_0^1\sqrt{2x+1}\,dx\).
Substituição: faça \(u=2x+1\Rightarrow du=2dx\). Os limites vão de \(u(0)=1\) a \(u(1)=3\), então
\(A=\pi\int_1^3 u^{1/2}\,du\).
Cálculo: \(\pi\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^3=\dfrac{2\pi}{3}(3\sqrt3-1)=2\pi\!\left(\sqrt3-\dfrac{1}{3}\right)\).
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